কোয়ান্টাম জগৎ/আপেক্ষিকতা/লরেন্‌জ রূপান্তর

লোরেন্টজ রূপান্তর (সাধারণ রূপ)

আমরা একটি জড় ফ্রেমের $t$ এবং $\mathbf {r} =(x,y,z)$ স্থানাঙ্কগুলিকে অন্য একটি জড় ফ্রেমের $t'$ এবং $\mathbf {r} '=(x',y',z')$ এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে চাই${\mathcal {F}}_{2}.$ আমরা ধরে নেব যে দুটি ফ্রেম নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে:

1. তাদের স্থানাঙ্কের উৎপত্তি মিলে যায় ($t'{=}0,\mathbf {r} '{=}0$ একই স্থানাঙ্কের অবস্থান চিহ্নিত করে $t{=}0,\mathbf {r} {=}0$),
2. তাদের স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি সমান্তরাল, এবং
3. ${\mathcal {F}}_{2}$ <mathcal{F}_1 এর সাপেক্ষে একটি ধ্রুবক বেগে চলে।</math>

এই মুহুর্তে আমরা যা জানি তা হল যে ${\mathcal {F}}_{1}$ এ ধ্রুবক বেগে যা কিছু চলে তা ${\mathcal {F}}_{2}.$ এও তাই করবে।এর ফলে $t,\mathbf {r} \rightarrow t',\mathbf {r} '$ এ সরল রেখাগুলিকে ${\mathcal {F}}_{1}$ এ সরল রেখাগুলিকে ${\mathcal {F}}_{2}.$ এর সরল রেখাগুলিতে রূপান্তরিত করে। বিশেষ করে ${\mathcal {F}}_{1},$ এর সমন্বয় রেখাগুলিকে সরল রেখাগুলিতে ম্যাপ করা হবে। ${\mathcal {F}}_{2}.$ -এ রেখা।এটি আমাদের বলে যে ড্যাশযুক্ত স্থানাঙ্কগুলি হল অপ্রকাশিত স্থানাঙ্কগুলির রৈখিক সংমিশ্রণ,

$t'=A\,t+\mathbf {B} \cdot \mathbf {r} ,\qquad \mathbf {r} '=C\,\mathbf {r} +(\mathbf {D} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {w} +\,t.$

আমরা আরও জানি যে ${\mathcal {F}}_{1}$ থেকে <mathcal{F}_2</math>-এ রূপান্তর কেবল $\mathbf {w} ,$ এর উপর নির্ভর করতে পারে,</math> তাই $A,$\mathbf{B},</math> $C,$ এবং $\mathbf {D}$ হল পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathbf{w} এর ফাংশন।} আমাদের কাজ হল এই ফাংশনগুলি খুঁজে বের করা। $A$ এবং $C$ আসলে শুধুমাত্র পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle w=|\mathbf{w}|={}_+\sqrt{\mathbf{w}\cdot\mathbf{w}} এর উপর নির্ভর করতে পারে,} তাই $A=a(w)$ এবং পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle C=c(w)।} শুধুমাত্র $\mathbf {w}$ এর উপর নির্ভর করে একটি ভেক্টর ফাংশন পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathbf{w} এর সমান্তরাল (অথবা প্রতিসমান্তরাল) হতে হবে,} এবং এর মান পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle w এর একটি ফাংশন হতে হবে।} তাই আমরা $\mathbf {B} =b(w)\,\mathbf {w} ,$ লিখতে পারি।</math> $=e(w)\,\mathbf {w} .$ (এক মুহূর্তের মধ্যে স্পষ্ট হয়ে যাবে কেন $w^{-2}$ উৎপাদকটিকে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathbf{D} এর সংজ্ঞায় অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।} ) সুতরাং,

$t'=a(w)\,t+b(w)\,\mathbf {w} \cdot \mathbf {r} ,\qquad \mathbf {r} '=\displaystyle c(w)\,\mathbf {r} +d(w){\mathbf {w} \cdot \mathbf {r} \over w^{2}}\mathbf {w} +e(w)\,\mathbf {w} \,t.$

আসুন $\mathbf {r}$ কে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathbf{w} t এর সমান সেট করি।} এর অর্থ হল $\mathbf {r} '=(c+d+e)\mathbf {w} t.$ যেহেতু আমরা স্থির অবস্থায় থাকা কোনও বস্তুর গতিপথের দিকে তাকাচ্ছি,</math> ${\mathcal {F}}_{2},$ অবশ্যই ধ্রুবক হতে হবে। অতএব,

c+d+e=0.</math>

আসুন বিপরীত রূপান্তরটি লিখি। যেহেতু \mathcal{F}_1</math> বেগে $-\mathbf {w}$ গতিতে চলে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathcal{F}_2 এর সাপেক্ষে,} এটি

$t=a(w)\,t'-b(w)\,\mathbf {w} \cdot \mathbf {r} ',\qquad \mathbf {r} =\displaystyle c(w)\,\mathbf {r} '+d(w){\mathbf {w} \cdot \mathbf {r} ' \over w^{2}}\mathbf {w} -e(w)\,\mathbf {w} \,t'.$

আমাদের জীবন সহজ করার জন্য, আমরা এখন স্থান অক্ষগুলি বেছে নিয়েছি যাতে $\mathbf {w} =(w,0,0).$ তারপর উপরের দুটি (পারস্পরিকভাবে বিপরীত) রূপান্তরগুলি সরলীকৃত হয়

$t'=at+bwx,\quad x'=cx+dx+ewt,\quad y'=cy,\quad z'=cz,$

$t=at'-bwx',\quad x=cx'+dx'-ewt',\quad y=cy',\quad z=cz'.$

প্রথম রূপান্তরটিকে দ্বিতীয়টিতে প্লাগ করে, আমরা প্রাপ্ত করুন

$t=a(at+bwx)-bw(cx+dx+ewt)=(a^{2}-bew^{2})t+(abw-bcw-bdw)x,$

$x=c(cx+dx+ewt)+d(cx+dx+ewt)-ew(at+bwx)$

      $=(c^{2}+2cd+d^{2}-bew^{2})x+(cew+dew-aew)t,$

$y=c^{2}y,$

$z=c^{2}z.$

এই সমীকরণগুলির প্রথমটি আমাদের বলে যে

$a^{2}-bew^{2}=1$ $abw-bcw-bdw=0.$

দ্বিতীয়টি আমাদের বলে যে

$c^{2}+2cd+d^{2}-bew^{2}=1$  এবং  $cew+dew-aew=0.$

abw-bcw-bdw=0</math> এর সাথে $c+d+e=0$ (এবং $w\neq 0$) একত্রিত করলে, আমরা পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle b(a+e)=0 পাই।}

$c+d+e=0$ ব্যবহার করে d বাদ দিলে, আমরা $e^{2}-bew^{2}=1$ এবং পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle e(a+e)=0 পাই।}

যেহেতু শেষ দুটি সমীকরণের প্রথমটি বোঝায় যে $e\neq 0,$ আমরা দ্বিতীয়টি থেকে সংগ্রহ করি যে $e=-a.$

$y=c^{2}y$ আমাদের বলে যে $c^{2}=1.$ $c$ <প্রকৃতপক্ষে, <1> এর সমান হতে হবে, কারণ আমরা ধরে নিয়েছি যে দুটি ফ্রেমের স্থান অক্ষ সমান্তরাল (প্রতিসমান্তরাল নয়)।

$c=1$ এবং $e=-a,$ c+d+e=0</math> দিয়ে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle d=a-1 পাওয়া যায়।} $e^{2}-bew^{2}=1$ সমাধান করার পরে $b,$ এর জন্য $b,c,d,$ এবং পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle এর জন্য <math> এক্সপ্রেশন অবশিষ্ট থাকে যা কেবলমাত্র <math>a} এর উপর নির্ভর করে:

$b={1-a^{2} \over aw^{2}},\quad c=1,\quad d=a-1,\quad e=-a.$

বেশ উন্নতি!

অবশিষ্ট ফাংশন $a(w)$ খুঁজে বের করার জন্য, আমরা একটি তৃতীয় জড়তামূলক ফ্রেম বিবেচনা করি${\mathcal {F}}_{3}$, যা$\mathbf {v} =(v,0,0)$ বেগে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathcal{F}_2 এর সাপেক্ষে চলে। } ${\mathcal {F}}_{1}$ থেকে <mathcal{F}_2</math> এ রূপান্তর একত্রিত করে

$t'=a(w)\,t+{1-a^{2}(w) \over a(w)\,w}x,\qquad x'=a(w)\,x-a(w)\,wt,$

${\mathcal {F}}_{2}$ থেকে ${\mathcal {F}}_{3}$ এ রূপান্তরের সাথে

$t''=a(v)\,t'+{\frac {1-a^{2}(v)}{a(v)\,v}}x',\qquad x''=a(v)\,x'-a(v)\,vt',$

আমরা পাই ${\mathcal {F}}_{1}$ থেকে ${\mathcal {F}}_{3}$ এ রূপান্তর:

$t''=a(v)\left[a(w)\,t+{1-a^{2}(w) \over a(w)\,w}x\right]+{1-a^{2}(v) \over a(v)\,v}{\Bigl [}a(w)\,x-a(w)\,wt{\Bigr ]}$

     $=\underbrace {\left[a(v)\,a(w)-{1-a^{2}(v) \over a(v)\,v}a(w)\,w\right]} _{\textstyle \star }t+{\Bigl [}\dots {\Bigr ]}\,x,$

$x''=a(v){\Bigl [}a(w)\,x-a(w)\,wt{\Bigr ]}-a(v)\,v\left[a(w)\,t+{1-a^{2}(w) \over a(w)\,w}x\right]$

      $=\underbrace {\left[a(v)\,a(w)-a(v)\,v{1-a^{2}(w) \over a(w)\,w}\right]} _{\textstyle \star \,\star }x-{\Bigl [}\dots {\Bigr ]}\,t.$

\mathcal{F}_1</math> থেকে সরাসরি রূপান্তর ${\mathcal {F}}_{3}$ এর রূপ অবশ্যই ${\mathcal {F}}_{1}$ থেকে ${\mathcal {F}}_{2}$ এবং ${\mathcal {F}}_{2}$ থেকে ${\mathcal {F}}_{3}$ এ রূপান্তরের মতো একই হতে হবে, যথা

$t''=\underbrace {a(u)} _{\textstyle \star }t+{1-a^{2}(u) \over a(u)\,u}\,x,\qquad x''=\underbrace {a(u)} _{\textstyle \star \,\star }x-a(u)\,ut,$

যেখানে $u$ হল ${\mathcal {F}}_{3}$ এর গতি পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \mathcal{F}_1 এর তুলনা।} এর তুলনা তারা দ্বারা চিহ্নিত সহগগুলি $a(u)$ এর জন্য দুটি রাশি তৈরি করে, যা অবশ্যই সমান হতে হবে:

$a(v)\,a(w)-{1-a^{2}(v) \over a(v)\,v}a(w)\,w=a(v)\,a(w)-a(v)\,v{1-a^{2}(w) \over a(w)\,w}.$

এটি ${\bigl [}1-a^{2}(v){\bigr ]}\,a^{2}(w)w^{2}={\bigl [}1-a^{2}(w){\bigr ]}\,a^{2}(v)v^{2},$ অনুসরণ করে এবং এটি আমাদের বলে যে

$K={1-a^{2}(w) \over a^{2}(w)\,w^{2}}={1-a^{2}(v) \over a^{2}(v)\,v^{2}}$

একটি সর্বজনীন ধ্রুবক। $a(w)$ এর প্রথম সমীকরণ সমাধান করলে আমরা পাবো

$a(w)=1/{\sqrt {1+Kw^{2}}}.$

এটি আমাদের রূপান্তরটি কাস্ট করতে সাহায্য করে

$t'=at+bwx,\quad x'=cx+dx+ewt,\quad y'=cy,\quad z'=cz,$

ফর্মে

$t'={t+Kwx \over {\sqrt {1+Kw^{2}}}},\quad x'={x-wt \over {\sqrt {1+Kw^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z.$

ট্রাম্পেটস, দয়া করে! আমরা পাঁচটি অজানা ফাংশনকে একটি একক ধ্রুবকে কমাতে সক্ষম হয়েছি।