কোয়ান্টাম জগৎ/আপেক্ষিকতা/লরেন্‌জ

$K>0$ এর বিরুদ্ধে যুক্তি

একটি কাল্পনিক জগতে যেখানে $K>0$, সেখানে আমরা $k\equiv 1/{\sqrt {K}}$ নির্ধারণ করতে পারি (এটি একটি সার্বজনীন ধ্রুবক, যার মাত্রা একটি বেগের সমান), এবং আমরা $u=v+w/(1-Kvw)$ সম্পর্কটিকে এই রূপে রূপান্তর করতে পারি:

$u={v+w \over 1-vw/k^{2}}.$

যদি আমরা $v=w=k/2$ বসাই, তাহলে গ্যালিলিয় বেগযোগ $u=v+w=k$ এর পরিবর্তে পাই $u={4 \over 3}k>k.$ এরচেয়ে খারাপ, যদি আমরা $v=w=k$ বসাই, তাহলে পাই $u=\infty$: অর্থাৎ, যদি কোনো বস্তু $O$ এর বেগ ${\mathcal {F}}_{2}$ এর তুলনায় $k$ হয়, এবং যদি ${\mathcal {F}}_{2}$ এর বেগ ${\mathcal {F}}_{1}$ এর তুলনায় $k$ হয় (একই দিকে), তাহলে $O$ এর বেগ ${\mathcal {F}}_{1}$ এর তুলনায় অসীম! আর যদি $O$ এর বেগ ${\mathcal {F}}_{2}$ এর তুলনায় $2k$ হয় এবং ${\mathcal {F}}_{2}$ এর বেগ ${\mathcal {F}}_{1}$ এর তুলনায় $2k$ হয়, তাহলে $O$ এর বেগ ${\mathcal {F}}_{1}$ এর তুলনায় নেতিবাচক: $u=-{4 \over 3}k.$

যদি আমরা এমন একক ব্যবহার করি যেখানে $K=k=1$, তাহলে একটি অনুধাবনযোগ্য পথাংশের জন্য অপরিবর্তনীয় সঠিক সময় সংশ্লিষ্ট জড়বেগ উপাদানগুলোর সঙ্গে এইভাবে সম্পর্কিত হয়:

$ds^{2}=dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.$

এটি ৩-আয়তনীয় অপরিবর্তনীয় রাশি $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ এর ৪-মাত্রিক রূপ, যা স্থানীয় ঘূর্ণনের অধীনেও অপরিবর্তিত থাকে। তাই যদি $K$ ধনাত্মক হয়, তাহলে জড় কাঠামোর মধ্যে রূপান্তরসমূহ স্পেসটাইমে ঘূর্ণন রূপে কাজ করে। এখন আশা করি, আপনি বুঝতে পারছেন কেন এই কাল্পনিক জগতে দুটি ধনাত্মক বেগের সংযোজন নেতিবাচক ফল দিতে পারে।

এই উপসংহার নিশ্চিত করতে আসুন রচনার উপপাদ্য (যেখানে $k{=}1$) একটি কৌণিক ঘূর্ণনের ভিত্তিতে প্রমাণ করি, যেখানে $x'$ ও $t'$ অক্ষগুলো $x$ ও $t$ অক্ষের তুলনায় ঘূর্ণিত।

ডটেড রেখা বরাবর চলমান বস্তু $O$ এর বেগ ${\mathcal {F}}'$ এর তুলনায় $w=\cot(\alpha +ta)$, ${\mathcal {F}}'$ এর বেগ ${\mathcal {F}}$ এর তুলনায় $v=\tan \alpha$, এবং $O$ এর বেগ ${\mathcal {F}}$ এর তুলনায় $u=\cot \beta .$ ত্রিকোণমিতিক সূত্র

$\tan(\alpha +\beta )={\tan \alpha +\tan \beta \over 1-\tan \alpha \tan \beta },$

ব্যবহার করে পাই ${1 \over w}={v+1/u \over 1-v/u}.$ এখান থেকে $u$ নির্ণয় করলে পাই $u={v+w \over 1-vw}.$

কীভাবে আমরা অগ্রিমভাবে $K>0$ এর সম্ভাবনা বাতিল করতে পারি? বইয়ের মূল অংশে দেখানো হয়েছে, পদার্থের স্থিতিশীলতা — নির্দিষ্ট করে বললে, এমন স্থিতিশীল বস্তুর অস্তিত্ব যারা (i) স্থানের প্রসারিত অংশ দখল করে এবং (ii) এমন সসীম সংখ্যক বস্তু দ্বারা গঠিত যেগুলোর নিজস্ব কোনো স্থানীয় বিস্তার নেই — নির্ভর করে আপেক্ষিক অবস্থানের অস্তিত্বের ওপর, যা (a) মোটামুটি অস্পষ্ট এবং (b) সময়ের ওপর নির্ভরশীল নয়। এই আপেক্ষিক অবস্থানগুলো এমন সম্ভাব্যতা বণ্টন দ্বারা বর্ণিত যা (a) স্থানে অসমান (অর্থাৎ অ-সাম্যবণ্টিত), এবং (b) সময়ে সমান (অর্থাৎ সময়ে অভিন্ন)। তাই এই রকম আপেক্ষিক অবস্থানের বাস্তব অস্তিত্বের জন্য স্পেসটাইমের স্থান ও সময় মাত্রার মধ্যে একটি প্রকৃত পার্থক্যের প্রয়োজন। এটি $K>0$ এর সম্ভাবনাকে বাতিল করে।

কীভাবে? যদি $K<0$ হয়, এবং যদি আমরা প্রাকৃতিক একক ব্যবহার করি যেখানে $c=1$, তাহলে পাই

$ds^{2}=+\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.$

ভৌতবিজ্ঞানের ক্ষেত্রে, $dt$ এর সামনে ধনাত্মক চিহ্ন এবং $dx$, $dy$, $dz$ এর সামনে ঋণাত্মক চিহ্ন — এটিই সময় এবং স্থানীয় মাত্রার মধ্যে একমাত্র বাস্তব পার্থক্য। যদি $K$ ধনাত্মক হতো, তাহলে এমন পার্থক্যও থাকতো না।

$K=0$ এর বিরুদ্ধে যুক্তি

এবার, $K=0$ হওয়ার সম্ভাবনার বিরুদ্ধে কী যুক্তি রয়েছে?

একটি মুক্ত এবং স্থিতিশীল কণার জন্য প্রসারণ রাশি (প্রপাগেটর) মনে করুন:

$\langle B|A\rangle =\int {\mathcal {DC}}e^{-ibs[{\mathcal {C}}]}.$

যদি $K$ শূন্য হতো, তাহলে $ds^{2}=dt^{2}$ হতো। তখন জড় সময় এবং সঠিক সময়ের মধ্যে কোনো পার্থক্য থাকতো না, এবং $A$ থেকে $B$ তে যাওয়া প্রতিটি স্পেসটাইম পথ একই মান $e^{-ib(t_{B}-t_{A})}$ নিয়ে যোগ দিতো, ফলে $\langle B|A\rangle$ অসীমভাবে বিভ্রান্তিকর হয়ে পড়তো। আরও খারাপ, $\langle B|A\rangle$ তখন $A$ ও $B$ এর মধ্যবর্তী দূরত্বের ওপর নির্ভর করতো না। সুসংহত, সীমিত সম্ভাবনা পাওয়ার জন্য বিলোপ (অর্থাৎ, ধ্বংসাত্মক হস্তক্ষেপ) প্রয়োজন, যা $K=0$ কে বাতিল করে।

প্রকৃত লরেন্‌জ রূপান্তর

বাস্তব জগতে, লরেন্‌জ রূপান্তর নিচের রূপে হয়:

$t'={t-wx/c^{2} \over {\sqrt {1-w^{2}/c^{2}}}},\quad x'={x-wt \over {\sqrt {1-w^{2}/c^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z.$

এখন প্রাকৃতিক একক (যেখানে $c=1$) ব্যবহার করে ডায়াগ্রাম অনুসারে বিশ্লেষণ করি। $t'=0$ বসালে পাই $t=wx$ — অর্থাৎ $x'$ অক্ষের ঢাল $w=\tan \alpha$। $x'=0$ বসালে পাই $t=x/w$ — অর্থাৎ $t'$ অক্ষের ঢাল $1/w$। অর্থাৎ, ড্যাশ করা অক্ষদ্বয় একই কোণে বিপরীত দিকে ঘূর্ণিত; যদি $t'$ অক্ষ $t$ অক্ষের তুলনায় ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘূর্ণিত হয়, তাহলে $x'$ অক্ষ বিপরীত দিকে ঘূর্ণিত।

এই একই উপসংহারে আসা যায় চলমান ঘড়ির সিঙ্ক্রোনাইজেশন ভাবলে। ধরুন তিনটি ঘড়ি (১, ২, ৩) একই বেগে $w=\tan \alpha$ এ ${\mathcal {F}}$ এর তুলনায় চলমান। সেগুলো সিঙ্ক্রোনাইজ করতে হলে, এক ঘড়ি থেকে অন্য ঘড়িতে সংকেত পাঠাতে হয়। কী ধরনের সংকেত? যদি চাই পদ্ধতিটি ব্যবহৃত ভাষা (অর্থাৎ জড় কাঠামো) নিরপেক্ষ হয়, তাহলে সংকেতের বেগ হতে হবে অপরিবর্তনীয় $c$।

এভাবে করা হয়:

ঘড়ি ২ থেকে (ঘটনা $A$) আলোর সংকেত পাঠানো হয় এবং ঘড়ি ১ ও ৩ দ্বারা প্রতিফলিত হয় (ঘটনা $B$ ও $C$)। ঘড়ির দূরত্ব এমনভাবে নির্ধারিত হয় যাতে প্রতিফলিত সংকেত ঘড়ি ২-এ (ঘটনা $D$) একসঙ্গে ফিরে আসে। এটি নিশ্চিত করে যে ঘড়ি ১ ও ২ এবং ২ ও ৩ এর মধ্যবর্তী দূরত্ব সব জড় কাঠামোতে সমান। ${\mathcal {F}}'$ কাঠামোতে, যেখানে ঘড়িগুলো স্থির, সেখানে সংকেতগুলো সমান দূরত্ব অতিক্রম করেছে এবং সমান সময়ে পৌঁছেছে। তাই ঘড়িগুলো এমনভাবে সিঙ্ক্রোনাইজড হতে হবে যাতে $B$ ও $C$ একই সময়ে ঘটে। আমরা ঘড়ি ১ এর ওয়ার্ল্ডলাইনকে $t'$ অক্ষ এবং $B$ ও $C$ এর মধ্যবর্তী সরলরেখাকে $x'$ অক্ষ হিসেবে নিতে পারি। উপরোক্ত চিত্রে দেখা যায় যে তিনটি $ta$ কোণ সমান। এবং যেহেতু $B$ থেকে $D$ এ সংকেতের ঢাল ১ (যেহেতু $c{=}1$), সেহেতু $\alpha$ কোণদ্বয় সমান হতে হবে।

এইভাবে সমকালীনতা ভাষা — অর্থাৎ জড় কাঠামোর — উপর নির্ভরশীল। যদি $E_{1}$ ও $E_{2}$ দুটি ঘটনা এক কাঠামোতে একসঙ্গে ঘটে, তাহলে এমন কাঠামোও থাকবে যেখানে $E_{1}$ পরে এবং আবার এমন কাঠামো থাকবে যেখানে $E_{1}$ আগে ঘটে।

আমরা স্পেস ও টাইম অক্ষের একক বিন্দুগুলো কোথায় রাখব? ${\mathcal {F}}'$ এর টাইম অক্ষের একক বিন্দু হলো $t'=1,x'=0$, এবং এটি $t^{2}-x^{2}=1$ পূরণ করে — যেমনটি পাই $(t')^{2}-(x')^{2}=t^{2}-x^{2}$ সূত্র থেকে। $x'$ অক্ষের একক বিন্দু হলো $t'=0,x'=1$, যা $x^{2}-t^{2}=1$ পূরণ করে। এই স্পেস ও টাইম অক্ষের একক বিন্দুর স্থান হলো নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত হাইপারবোলা: