কোয়ান্টাম জগৎ/আপেক্ষিকতা/রচনাতত্ত্ব ও সঠিক সময়

বেগের গঠন

প্রকৃতপক্ষে, কেবল তিনটি ভৌতভাবে স্বতন্ত্র সম্ভাবনা রয়েছে। (যদি $K\neq 0,$ $K$ এর মাত্রা একক নির্বাচনের উপর নির্ভর করে এবং এটি আমাদের ভৌত জগত সম্পর্কে কিছু বলার চেয়ে আমাদের সম্পর্কে কিছু বলে।)

সম্ভাবনা $K=0$ নিউটনীয় ("অ-আপেক্ষিক") বলবিদ্যার "গ্যালিলীয় রূপান্তর" প্রদান করে:

$t'=t,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} -\mathbf {w} t,\quad u=v+w,\quad ds=dt.$

(এই রূপান্তর সূত্রের তত্ত্বগুলিকে "অ-আপেক্ষিক" বলার সাধারণ অভ্যাস অনুপযুক্ত, কারণ তারাও আপেক্ষিকতার নীতি পূরণ করে।) এই বিভাগের বাকি অংশে আমরা ধরে নিই যে $K$ বস্তুটি $V$ এর সাথে তুলনা করে গতিতে চলে।</math>

ধরুন যে বস্তুটি $C$ এর সাথে তুলনা করে $V$ গতিতে চলে। বস্তু ,</math> এবং এটি $A$ এর তুলনায় গতিতে চলে।</math> যদি $B$ এবং $C$ একই দিকে চলে, তাহলে $A$ এর তুলনায় $C$ এর গতি কত? পূর্ববর্তী বিভাগে আমরা দেখেছি যে

$a(u)=a(v)\,a(w)-{1-a^{2}(v) \over a(v)\,v}a(w)\,w,$

এবং যে

$K={1-a^{2}(v) \over a^{2}(v)\,v^{2}}.$

এটি আমাদের লিখতে সাহায্য করে

$a(u)=a(v)\,a(w)-{1-a^{2}(v) \over a^{2}(v)\,v^{2}}a(v)\,v\,a(w)\,w=a(v)\,a(w)(1-Kvw).$

K</math> এবং সংশ্লিষ্ট বেগের পরিপ্রেক্ষিতে $a$ প্রকাশ করে, আমরা প্রাপ্ত

${1 \over {\sqrt {1+Ku^{2}}}}={1-Kvw \over {\sqrt {1+Kv^{2}}}{\sqrt {1+Kw^{2}}}},$

যার অর্থ হল

$1+Ku^{2}={(1+Kv^{2})(1+Kw^{2}) \over (1-Kvw)^{2}}.$

আমরা এটিকে

$Ku^{2}={(1+Kv^{2})(1+Kw^{2})-(1-Kvw)^{2} \over (1-Kvw)^{2}}={K(v+w)^{2} \over (1-Kvw)^{2}},$

$K$ দিয়ে ভাগ করুন এবং শেষ করুন:

$u={v+w \over 1-Kvw}.$

সুতরাং, যদি না $K=0,$ আমরা $A$ এর তুলনায় $C$ এর গতি $B$ এর তুলনায় $B$ এর গতির সাথে যোগ করে $C$ এর গতি $A$ এর তুলনায় $C$ এর গতি পাই না।

সঠিক সময়

একটি অসীম ক্ষুদ্র অংশ বিবেচনা করুন। $d{\mathcal {C}}$স্থানকালের পথের ${\mathcal {C}}.$ In ${\mathcal {F}}_{1}$ এর উপাদানগুলি রয়েছে $(dt,dx,dy,dz),$ in ${\mathcal {F}}_{2}$ এর উপাদানগুলি রয়েছে $(dt',dx',dy',dz').$লরেন্টজ রূপান্তরকে তার সাধারণ আকারে ব্যবহার করে,

$t'={t+Kwx \over {\sqrt {1+Kw^{2}}}},\quad x'={x-wt \over {\sqrt {1+Kw^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,$

এটা সহজেই দেখানো হয়েছে যে

$(dt')^{2}+K\,d\mathbf {r} '\cdot d\mathbf {r} '=dt^{2}+K\,d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} .$

আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে অভিব্যক্তিটি

$ds^{2}=dt^{2}+K\,d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dt^{2}+K(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})$

এই রূপান্তরের অধীনে এটি অপরিবর্তনীয়। স্থানিক অক্ষের ঘূর্ণন (কেন?) এবং স্থানকাল স্থানাঙ্ক উৎপত্তির অনুবাদের ক্ষেত্রেও এটি অপরিবর্তনীয়। এটি $ds$ কে "4-স্কেলার" করে তোলে।

$ds$ এর ভৌত তাৎপর্য কী?

একটি ঘড়ি যা বরাবর ভ্রমণ করে $d{\mathcal {C}}$ যেকোনো ফ্রেমে বিশ্রামে থাকে যেখানে$d{\mathcal {C}}$স্থানিক উপাদানের অভাব রয়েছে। এমন একটা কাঠামোর মধ্যে, $ds^{2}=dt^{2}.$ Hence $ds$ ভ্রমণ করতে যে সময় লাগে $d{\mathcal {C}}$ একটি ঘড়ি দ্বারা পরিমাপ করা যা বরাবর ভ্রমণ করে $d{\mathcal {C}}.$ $ds$ "সঠিক সময়" (অথবা "সঠিক সময়কাল") of $d{\mathcal {C}}.$একটি সসীম স্থানকালের সঠিক সময় (অথবা সঠিক সময়কাল) path ${\mathcal {C}},$ তদনুসারে, হল

$\int _{\mathcal {C}}ds=\int _{\mathcal {C}}{\sqrt {dt^{2}+K\,d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} }}=\int _{\mathcal {C}}dt{\sqrt {1+Kv^{2}}}.$

একটি অপরিবর্তনীয় গতি

যদি $K<0,$ হয়, তাহলে একটি সর্বজনীন ধ্রুবক $c\equiv 1/{\sqrt {-K}}$ থাকে যার বেগের মাত্রা থাকে, এবং আমরা $u=v+w/(1-Kvw)$ কে ফর্মে নিক্ষেপ করতে পারি

$u={v+w \over 1+vw/c^{2}}.$

যদি আমরা প্লাগ ইন করি $v=w=c/2,$ তাহলে গ্যালিলিয়ানের পরিবর্তে $u=v+w=c,$আমাদের আছে $u={4 \over 5}c<c.$ আরও আকর্ষণীয়ভাবে, যদি বস্তুটি  $O$ দ্রুত গতিতে চলে $c$ সম্পর্কিত ${\mathcal {F}}_{2},$এবং যদি${\mathcal {F}}_{2}$ দ্রুত গতিতে চলে $w$সম্পর্কিত  ${\mathcal {F}}_{1},$তারপর $O$একই গতিতে চলে $c$ সম্পর্কিত ${\mathcal {F}}_{1}$: $(w+c)/(1+wc/c^{2})=c.$আলোর গতি $c$এইভাবে একটি "অপরিবর্তনীয় গতি": যা কিছু একটি জড় ফ্রেমে এর সাথে ভ্রমণ করে, "প্রতিটি" জড় ফ্রেমে একই গতিতে ভ্রমণ করে।

শুরু থেকে

$ds^{2}=(dt')^{2}-d\mathbf {r} '\cdot d\mathbf {r} '/c^{2}=dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} /c^{2},$

আমরা একই সিদ্ধান্তে উপনীত হই: যদি $O$ সাথে ভ্রমণ করে $c$ সম্পর্কিত ${\mathcal {F}}_{1},$তারপর এটি দূরত্ব অতিক্রম করে $dr=c\,dt$ সেই সময়ে $dt.$অতএব $ds^{2}=dt^{2}-dr^{2}/c^{2}=0.$কিন্তু তারপর $(dt')^{2}-(dr')^{2}/c^{2}=0,$এবং এর অর্থ হল $dr'=c\,dt'.$এর ফলে $O$ একই গতিতে ভ্রমণ করে $c$সম্পর্কিত ${\mathcal {F}}_{2}.$

একটি অপরিবর্তনীয় গতিও বিদ্যমান যদি$K=0,$ কিন্তু এই ক্ষেত্রে এটি অসীম: যা কিছু "এক" জড় কাঠামোতে অসীম গতিতে ভ্রমণ করে - এক স্থান থেকে অন্য স্থানে যেতে কোনও সময় লাগে না - "প্রতিটি" জড় কাঠামোতেও তা করে।

একটি অপরিবর্তনীয় গতির অস্তিত্ব স্থানকালে বস্তুগুলিকে U-টার্ন নিতে বাধা দেয়। যদি $K=0,$স্পষ্টই এটি পৌঁছাতে অসীম পরিমাণ শক্তি লাগে $v=\infty .$ যেহেতু অসীম পরিমাণ শক্তি আমাদের হাতে নেই, তাই আমরা স্থানকালের চিত্রে উল্লম্বভাবে শুরু করে U-টার্ন নিতে পারি না (অর্থাৎ, আমরা একটি অনুভূমিক ঢালে পৌঁছাতে পারি না, "অতিক্রম" তো দূরের কথা। ("এখানে একটি অনুভূমিক ঢাল অতিক্রম করার" অর্থ হল ধনাত্মক থেকে ঋণাত্মক ঢালে পরিবর্তন, অথবা সময়ের সাথে সাথে এগিয়ে যাওয়া থেকে পিছনে যাওয়া।)

যদি $K<0,$আলোর সীমাবদ্ধ গতিতে পৌঁছাতে অসীম পরিমাণ শক্তি লাগে। কল্পনা করুন আপনি 0 থেকে ত্বরান্বিত করতে সীমিত পরিমাণ জ্বালানি ব্যয় করেছেন $0.1\,c.$যে ফ্রেমে তুমি এখন বিশ্রামে আছো, সেখানে তোমার গতি আলোর গতির একটুও কাছাকাছি নয়। আর তুমি যতবারই এই প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করো না কেন, এটা সত্যই থেকে যায়। সুতরাং, কোনও সীমিত পরিমাণ শক্তিই তোমাকে "অতিক্রম" তো দূরের কথা, সমান ঢালে পৌঁছাতে পারবে না $1/c.$("একটি ঢাল অতিক্রম" সমান $1/c$ এর অর্থ হল একটি ছোট ঢাল অর্জন করা। আমরা দেখব, যদি আমরা যেকোনো একটি ফ্রেমে আলোর চেয়ে দ্রুত ভ্রমণ করি, তাহলে এমন কিছু ফ্রেম থাকবে যেখানে আমরা সময়ের সাথে পিছনে ভ্রমণ করব।)

Ajmain Istheak (আলাপ) ০৭:২৭, ২০ মে ২০২৫ (ইউটিসি)