কোয়ান্টাম জগৎ/অনির্দিষ্ট সমাকলন

অনির্দিষ্ট সমাহার

আমরা কীভাবে অসীম ক্ষুদ্র অংশগুলোর ক্ষেত্রফল যোগ করতে পারি? এটা সহজ যদি আমরা এমন একটি গাণিতিক রূপ $F(x)$ জানি যার প্রথম অবকলন $f(x)$। অর্থাৎ যদি $f(x)={\frac {dF}{dx}}$ হয়, তাহলে $dF(x)=f(x)\,dx$ এবং

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}dF(x)=F(b)-F(a).$

আমাদের যা করতে হবে তা হলো $a$ থেকে $b$ পর্যন্ত $x$ বাড়ার সাথে সাথে $F(x)$ কতটুকু বৃদ্ধি পেয়েছে, অর্থাৎ ক্ষুদ্র পরিমাণ $dF$ গুলোকে যোগ করা। যা আসলে $F(b)$ এবং $F(a)$ এর পার্থক্য।

যে রূপ $F(x)$ এর প্রথম অবকলন $f(x)$, তাকে $f(x)$ এর সমাহার বা প্রতিকলন বলা হয়। যেহেতু $f(x)$ এর সমাহার শুধু একটি ধ্রুবক যোগ করে পরিবর্তিত হতে পারে, তাই এটাকে অনির্দিষ্ট সমাহার বলা হয়। লক্ষ্য করুন, যেখানে $f(x)$ ঋণাত্মক, সেখানে এর রেখা ও $x$ অক্ষের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল নেতিবাচক ধরা হয়।

যদি আমরা সমাহারকারী $f(x)$ এর কোনো প্রতিকলন না জানি, তাহলে কীভাবে $I=\int _{a}^{b}dx\,f(x)$ হিসাব করব? সাধারণত আমরা সমাহারের তালিকা থেকে খুঁজি। নিজে থেকে করার জন্য যথেষ্ট দক্ষতা প্রয়োজন। উদাহরণ স্বরূপ, আসুন গাউসীয় সমাহার করি:

$I=\int _{-\infty }^{+\infty }dx\,e^{-x^{2}/2}.$

এই সমাহারের জন্য একজন বিশেষ কৌশল আবিষ্কার করেছেন। (সমস্যা হলো, বিভিন্ন সমাহারের জন্য ভিন্ন কৌশল দরকার হয়।) প্রথমে $I$ এর বর্গ করি:

$I^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,e^{-x^{2}/2}\int _{-\infty }^{+\infty }\!dy\,e^{-y^{2}/2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\!\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,dy\,e^{-(x^{2}+y^{2})/2}.$

এটি $x{-}y$ সমতল জুড়ে সমাহার। আমরা এই সমতলটিকে ক্ষুদ্র আয়তক্ষেত্র $dx\,dy$ এর বদলে কেন্দ্র থেকে সমকেন্দ্রিক বৃত্তাকার আকারে ব্যাসার্ধ $r$ এবং ক্ষুদ্র প্রস্থ $dr$ এর আকারে ভাগ করতে পারি। যেহেতু এমন রিং এর ক্ষেত্রফল হয় $2\pi r\,dr$, তাই

$I^{2}=2\pi \int _{0}^{+\infty }\!dr\,r\,e^{-r^{2}/2}.$

এখন শুধু একটি সমাহার বাকী। আমরা জানি ${\frac {d\,r^{2}}{dr}}=2r,$ তাই $dr\,r=d(r^{2}/2)$ এবং পরিবর্তনশীল $w=r^{2}/2$ গ্রহণ করি:

$I^{2}=2\pi \int _{0}^{+\infty }\!d\left({r^{2}/2}\right)e^{-r^{2}/2}=2\pi \int _{0}^{+\infty }\!dw\,e^{-w}.$

আমরা জানি $e^{-w}$ এর প্রতিকলন হলো $-e^{-w}$, তাই

$\int _{0}^{+\infty }\!dw\,e^{-w}=(-e^{-\infty })-(-e^{-0})=0+1=1.$

অতএব $I^{2}=2\pi$ এবং

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,e^{-x^{2}/2}={\sqrt {2\pi }}.$

বিশ্বাস করুন বা না করুন, তাত্ত্বিক পদার্থবিজ্ঞানের অনেক গবেষণায় এই মৌলিক গাউসীয় সমাহারের বিভিন্ন রূপ এবং বিস্তারিত নিয়ে কাজ করা হয়।

একটি রূপ পাওয়া যায় যখন আমরা ${\sqrt {a}}\,x$ কে $x$ এর জায়গায় বসাই:

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,e^{-ax^{2}/2}={\sqrt {2\pi /a}}.$

আরেকটি রূপ পাওয়া যায় এই সমীকরণের দুই পাশে $a$ কে পরিবর্তনশীল ধরে তার উপর ডেরিভেটিভ নিয়ে:

$\int _{-\infty }^{+\infty }dx\,e^{-ax^{2}/2}x^{2}={\sqrt {2\pi /a^{3}}}.$