এই কোয়ান্টাম জগৎ/তাৎপর্য ও প্রয়োগ/সম্ভাব্যতা প্রবাহ

সম্ভাব্যতা প্রবাহ

(একটি নির্দিষ্ট অবস্থান $\mathbf {r}$-এ) সম্ভাব্যতা ঘনত্ব $\rho (t,\mathbf {r} )=|\psi (t,\mathbf {r} )|^{2}$-এর পরিবর্তনের সময়-হার নিচের সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}.$

শ্রোডিঙার সমীকরণ এবং এর জটিল অনুবন্ধীর সাহায্যে,

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\cdot \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\psi +V\psi ,$

${\hbar \over i}{\partial \psi ^{*} \over \partial t}={\frac {1}{2m}}\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\cdot \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\psi ^{*}+V\psi ^{*},$

পাওয়া যায়

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {i}{\hbar }}\psi ^{*}\left[{\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\cdot \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\psi +V\psi \right]$

$+{\frac {i}{\hbar }}\psi \left[{\frac {1}{2m}}\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\cdot \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right].$

$V$ ধারণকারী পদগুলো বাতিল হয়ে যায়, তাই আমাদের কাছে অবশিষ্ট থাকে

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {i}{2m\hbar }}\left[\psi ^{*}\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+\mathbf {A} \right)\cdot \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+\mathbf {A} \right)\psi -\psi \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\cdot \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\psi ^{*}\right]$

$=\dots =-{\frac {\hbar }{2mi}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \mathbf {r} ^{2}}}\psi ^{*}-\psi {\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}\right)+{\frac {1}{m}}\left(\psi \psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} {\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {r} }}\psi ^{*}+\mathbf {A} \psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial \mathbf {r} }}\right).$

এরপর, আমরা $\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {r} }}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial \mathbf {r} }}\psi \right)-{\frac {1}{m}}\mathbf {A} \psi ^{*}\psi$-এর ডাইভারজেন্স গণনা করি:

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \mathbf {r} ^{2}}}\psi ^{*}-\psi {\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}\right)-{\frac {1}{m}}\left(\psi \psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} {\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {r} }}\psi ^{*}+\mathbf {A} \psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial \mathbf {r} }}\right).$

এর মূল কথা হলো:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {j} .$

একটি অপরিবর্তনশীল সীমানা $\partial R:$ বিশিষ্ট স্থানিক অঞ্চল $R$-এর ওপর যোগজীকরণ করে পাই:

${\partial \over \partial t}\int _{R}\rho \,d^{3}r=-\int _{R}{\partial \over \partial \mathbf {r} }\cdot \mathbf {j} \,d^{3}r.$

গাউসের সূত্র অনুযায়ী, $\partial R$-এর মধ্য দিয়ে $\mathbf {j}$-এর বহির্মুখী প্রবাহ হলো $R:$-এর ওপর $\mathbf {j}$-এর ডাইভারজেন্সের যোগজের সমান:

$\oint _{\partial R}\mathbf {j} \cdot d\Sigma =\int _{R}{\partial \over \partial \mathbf {r} }\cdot \mathbf {j} \,d^{3}r.$

সুতরাং আমরা পাই যে

${\partial \over \partial t}\int _{R}\rho \,d^{3}r=-\oint _{\partial R}\mathbf {j} \cdot d\Sigma .$

যদি $\rho$ কোনো উপাদানের অবিচ্ছিন্ন ঘনত্ব (প্রতি একক আয়তনে উপাদান) হয় এবং $\mathbf {j}$ তার প্রবাহ (প্রতি একক সময়ে প্রতি একক ক্ষেত্রফলে উপাদান) হয়, তবে বামদিকের অংশে আমরা সেই হার পাই যে হারে $R$-এর ভেতরের উপাদান বৃদ্ধি পায়, এবং ডানদিকের অংশে আমরা সেই হার পাই যে হারে উপাদান $R.$-এর পৃষ্ঠতল দিয়ে প্রবেশ করে। তাই যদি কোনো উপাদান A স্থান থেকে B স্থানে স্থানান্তরিত হয়, তবে এটি এমন যেকোনো অঞ্চলের সীমানা অতিক্রম করে যা A অথবা B-কে ধারণ করে। এ কারণেই আবদ্ধ সমীকরণটি অবিচ্ছিন্নতা সমীকরণ নামে পরিচিত।

তবে কোয়ান্টাম জগতে অবিচ্ছিন্নভাবে বণ্টিত এবং/অথবা অবিচ্ছিন্নভাবে চলমান উপাদান বলতে কিছু নেই। $\rho$ এবং $\mathbf {j} ,$ যথাক্রমে একটি ঘনত্ব (প্রতি একক আয়তনে কিছু) এবং একটি প্রবাহ (প্রতি একক সময়ে প্রতি একক ক্ষেত্রফলে কিছু) কেবল একটি প্রথাগত অর্থেই। যদি $\psi$ কোনো কণার সাথে যুক্ত তরঙ্গ ফাংশন হয়, তবে যোগজ $\int _{R}\rho \,d^{3}r=\int _{R}|\psi |^{2}\,d^{3}r$ কণাটিকে $R$-এ খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা প্রদান করে যদি উপযুক্ত পরিমাপ করা হয়, এবং আবদ্ধ সমীকরণটি আমাদের এটি জানায়: যদি যে সময়ে পরিমাপ করা হয়েছে তার ফাংশন হিসেবে কণাটিকে $R,$-এর ভেতরে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা বৃদ্ধি পায়, তবে একই সময়ের ফাংশন হিসেবে কণাটিকে $R,$-এর বাইরে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা সমপরিমাণে হ্রাস পায়। (যদি $\psi$ $n$ স্বাধীনতার মাত্রা বিশিষ্ট কোনো সিস্টেমের সাথে যুক্ত থাকে এবং $R$ সিস্টেমের কনফিগারেশন স্থানের একটি অঞ্চল হয়, তবে প্রায় একই কথা প্রযোজ্য হয়।) একে অনেক সময় এভাবে প্রকাশ করা হয় যে "সম্ভাব্যতা (স্থানীয়ভাবে) সংরক্ষিত থাকে।" যখন আপনি এটি শুনবেন, তখন মনে রাখবেন যে কোনো নির্দিষ্ট সময়ে নির্দিষ্ট স্থানে কিছু ঘটার সম্ভাব্যতা এমন কোনো বস্তু নয় যা সেই স্থানে অবস্থিত বা সেই সময়ে যার অস্তিত্ব আছে।