[ সম্পাদনা ] যদি বিভব V সময়ের ওপর নির্ভর না করে, তবে শ্রোডিঙার সমীকরণের এমন সমাধান রয়েছে যা একটি সময়-নিরপেক্ষ বা সময়স্বাধীন ফাংশন
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
e
−
(
i
/
ℏ
)
E
t
{\displaystyle e^{-(i/\hbar )\,E\,t}}
ψ
(
t
,
r
)
=
ψ
(
r
)
e
−
(
i
/
ℏ
)
E
t
.
{\displaystyle \psi (t,\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} )\,e^{-(i/\hbar )\,E\,t}.}
যেহেতু সম্ভাব্যতা ঘনত্ব
|
ψ
(
t
,
r
)
|
2
{\displaystyle |\psi (t,\mathbf {r} )|^{2}}
স্থিতিশীল বলা হয়।
ψ
(
r
)
e
−
(
i
/
ℏ
)
E
t
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\,e^{-(i/\hbar )\,E\,t}}
i
ℏ
∂
ψ
∂
t
=
−
ℏ
2
2
m
∂
∂
r
⋅
∂
∂
r
ψ
+
V
ψ
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\psi +V\psi }
বসালে দেখা যায় যে
ψ
(
r
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}
E
ψ
(
r
)
=
−
ℏ
2
2
m
(
∂
2
∂
x
2
+
∂
2
∂
y
2
+
∂
2
∂
z
2
)
ψ
(
r
)
+
V
(
r
)
ψ
(
r
)
.
{\displaystyle E\psi (\mathbf {r} )=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\,\psi (\mathbf {r} ).}
