এই কোয়ান্টাম জগৎ/তাৎপর্য ও প্রয়োগ/পারমাণবিক হাইড্রোজেন

পারমাণবিক হাইড্রোজেন

১৯২৩ সালের দ্য ব্রোয়ির তত্ত্বে যেখানে বৃত্তাকার ইলেকট্রন তরঙ্গের বৈশিষ্ট্য ছিল, সেখানে ১৯২৬ সালের শ্রোডিঙারের "তরঙ্গ বলবিজ্ঞান"-এ ত্রিমাত্রিক স্থানে স্থির তরঙ্গের বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এগুলোকে খুঁজে বের করার অর্থ হলো সময় নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণের সমাধানগুলো খুঁজে বের করা

$E\psi (\mathbf {r} )=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\,\psi (\mathbf {r} ).$

যেখানে $V(\mathbf {r} )=-e^{2}/r,$ হলো প্রোটন থেকে $r=|\mathbf {r} |$ দূরত্বে থাকা একটি চিরায়ত ইলেকট্রনের বিভব শক্তি। (কেবলমাত্র যখন আমরা আপেক্ষিক তত্ত্বে আসব, তখনই আমরা চিরায়ত চিন্তাধারার শেষ চিহ্নটুকুও মুছে ফেলতে পারব।)

$E\psi (\mathbf {r} )=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} )-{\frac {e^{2}}{r}}V(\mathbf {r} )\,\psi (\mathbf {r} ).$

এই সমীকরণটি ব্যবহার করার সময়, আমরা উপেক্ষা করি (i) প্রোটনের ওপর ইলেকট্রনের প্রভাব, যার ভর ইলেকট্রনের চেয়ে প্রায় ১৮৩৬ গুণ বেশি, এবং (ii) ইলেকট্রনের স্পিন। যেহেতু পারমাণবিক হাইড্রোজেনের পরিমাপযোগ্য বৈশিষ্ট্যগুলোর ওপর আপেক্ষিক এবং স্পিনের প্রভাব বেশ নগণ্য, তাই এই অ-আপেক্ষিক আসন্ন মান বা অ্যাপ্রক্সিমেশন চমৎকার ফলাফল প্রদান করে।

আবদ্ধ অবস্থার জন্য মোট শক্তি $E$ ঋণাত্মক হয় এবং শ্রোডিঙার সমীকরণের একটি বিচ্ছিন্ন সমাধানের সেট রয়েছে। দেখা যায় যে, $E$-এর "অনুমোদিত" মানগুলো হুবহু সেই মানগুলোই যা বোর ১৯১৩ সালে পেয়েছিলেন:

$E_{n}=-{1 \over n^{2}}\,{\mu e^{4} \over 2\hbar ^{2}},\qquad n=1,2,3,\dots$

তবে, প্রতিটি $n$-এর জন্য এখন $n^{2}$-সংখ্যক রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান রয়েছে। (যদি $\psi _{1},\dots ,\psi _{k}$ স্বাধীন সমাধান হয়, তবে এদের কোনোটিকেই অন্যগুলোর রৈখিক সমাহার $\sum a_{i}\psi _{i}$ হিসেবে লেখা যায় না।)

ভিন্ন ভিন্ন $n$ বিশিষ্ট সমাধানগুলো ভিন্ন ভিন্ন শক্তির সাথে সম্পর্কিত। একই $n$ বিশিষ্ট রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলোর সাথে কোন ভৌত পার্থক্যগুলো সম্পর্কিত?

পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে দেখা যায় যে, একটি নির্দিষ্ট মান $E_{n}$-এর জন্য সমস্ত সমাধান হলো এমন সমাধানগুলোর রৈখিক সমাহার, যাদের রূপ হলো

$\psi (r,\phi ,\theta )=e^{(i/\hbar )\,l_{z}\,\phi }\psi (r,\theta ).$

$l_{z}$ আরেকটি কোয়ান্টায়িত চলক হিসেবে প্রতীয়মান হয়, কারণ $e^{(i/\hbar )\,l_{z}\,\phi }=e^{(i/\hbar )\,l_{z}\,(\phi \pm 2\pi )}$ নির্দেশ করে যে $l_{z}=m\hbar$ যেখানে $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$। এছাড়া, $|m|$-এর একটি ঊর্ধ্বসীমা রয়েছে, যা আমরা একটু পরেই দেখতে পাব।

যেমনিভাবে $\psi (t,\mathbf {r} )$-কে $e^{-(i/\hbar )\,E\,t}\,\psi (\mathbf {r} )$-এ উৎপাদকে বিশ্লেষণের মাধ্যমে একটি $t$-নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণ পাওয়া সম্ভব হয়েছিল, তেমনি $\psi (r,\phi ,\theta )$-কে $e^{(i/\hbar )\,l_{z}\,\phi }\,\psi (r,\theta )$-এ উৎপাদকে বিশ্লেষণের মাধ্যমে একটি $\phi$-নিরপেক্ষ শ্রোডিঙার সমীকরণ পাওয়া সম্ভব হয়। এটিতে $m,$-এর পাশাপাশি আরেকটি বাস্তব স্থিতিমাপ $\Lambda ,$ রয়েছে, যার "অনুমোদিত" মানগুলো $l(l+1)\hbar ^{2},$ দ্বারা দেওয়া হয়, যেখানে $l$ হলো একটি পূর্ণসংখ্যা যা $0\leq l\leq n-1.$ শর্তকে সিদ্ধ করে। $m$-এর সম্ভাব্য মানগুলোর পরিসর $|m|\leq l.$ অসমতা দ্বারা সীমাবদ্ধ। সুতরাং প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা $n,$ কৌণিক ভরবেগ কোয়ান্টাম সংখ্যা $l,$ এবং তথাকথিত চৌম্বক কোয়ান্টাম সংখ্যা $m$-এর সম্ভাব্য মানগুলো হলো:

$n=1$	$l=0$	$m=0$
$n=2$	$l=0$	$m=0$
	$l=1$	$m=0,\pm 1$
$n=3$	$l=0$	$m=0$
	$l=1$	$m=0,\pm 1$
	$l=2$	$m=0,\pm 1,\pm 2$
$n=4$	$\dots$	$\dots$

কোয়ান্টাম সংখ্যা $n,l,m$-এর সম্ভাব্য প্রতিটি সেট একটি অনন্য তরঙ্গ ফাংশন $\psi _{nlm}(t,\mathbf {r} ),$-কে সংজ্ঞায়িত করে এবং এগুলো একত্রে $V(\mathbf {r} )=-e^{2}/r.$ বিশিষ্ট শ্রোডিঙার সমীকরণের আবদ্ধ অবস্থার সমাধানের ($E<0$) একটি সম্পূর্ণ সেট তৈরি করে। নিচের ছবিগুলো প্রথম তিনটি $l=0$ অবস্থার অবস্থানের সম্ভাব্যতা বিন্যাস সম্পর্কে একটি ধারণা দেয় (স্কেল অনুযায়ী নয়)। এগুলোর নিচে $r.$-এর বিপরীতে সম্ভাব্যতা ঘনত্বগুলো প্লট বা অঙ্কন করা হয়েছে। লক্ষ করুন যে এই অবস্থাগুলোর $n-1$-সংখ্যক নিস্পন্দ বিন্দু (নোড) রয়েছে, যার সবগুলোই গোলাকার, অর্থাৎ, এগুলো ধ্রুবক $r.$-এর পৃষ্ঠতল। (ত্রিমাত্রিক স্থানে কোনো তরঙ্গের নিস্পন্দ বিন্দুগুলো হলো দ্বিমাত্রিক পৃষ্ঠতল। একটি "সম্ভাব্যতা তরঙ্গ"-এর নিস্পন্দ বিন্দুগুলো হলো সেই পৃষ্ঠতলগুলো যেখানে $\psi$-এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয় এবং ফলস্বরূপ, সম্ভাব্যতা ঘনত্ব $|\psi |^{2}$ শূন্য হয়ে যায়।)

এই ছবিগুলোর দিকে আরেকবার নজর দিন:

• 
  $\rho _{2p0}$
• 
  $\rho _{3p0}$
• 
  $\rho _{3d0}$
• 
  $\rho _{4p0}$
• 
  $\rho _{2p0}$
• 
  $\rho _{3p0}$
• 
  $\rho _{3d0}$
• 
  $\rho _{4p0}$
• 
  $\rho _{4d0}$
• 
  $\rho _{4f0}$
• 
  $\rho _{5d0}$
• 
  $\rho _{5f0}$
• 
  $\rho _{4d0}$
• 
  $\rho _{4f0}$
• 
  $\rho _{5d0}$
• 
  $\rho _{5f0}$

s, p, d, f অক্ষরগুলো যথাক্রমে l=0, 1, 2, 3-কে নির্দেশ করে। (পারমাণবিক বর্ণালি রেখাগুলোর কোয়ান্টাম-বলবিজ্ঞানভিত্তিক উৎপত্তি বোঝার আগে, "শার্প," "প্রিন্সিপাল," "ডিফিউজ," এবং "ফান্ডামেন্টাল" রেখাগুলোর মধ্যে পার্থক্য করা হতো। পরবর্তীতে দেখা যায় যে এই পরিভাষাগুলো $l$-এর সম্ভাব্য প্রথম চারটি মানের সাথে মিলে যায়। $l=3$ থেকে সামনের দিকে এই লেবেলগুলো ইংরেজি বর্ণমালা অনুসরণ করে: f, g, h...) লক্ষ করুন যে এই অবস্থাগুলো গোলাকার এবং মোচাকৃতি উভয় ধরনের নিস্পন্দ বিন্দুই প্রদর্শন করে, যার মধ্যে শেষেরগুলো হলো ধ্রুবক $\theta$ এর পৃষ্ঠতল। ($\theta =0$ বিশিষ্ট "মোচাকৃতি" নিস্পন্দ বিন্দুটি হলো একটি অনুভূমিক সমতল।) এই অবস্থাগুলোরও মোট $n-1$-সংখ্যক নিস্পন্দ বিন্দু রয়েছে, যার মধ্যে $l$-সংখ্যক হলো মোচাকৃতি।

যেহেতু $\phi$-এর মধ্যে "তরঙ্গায়িত" বৈশিষ্ট্যটি একটি দশা উৎপাদক $e^{im\phi },$-এ ধারণ করা থাকে, তাই এটি $|\psi |^{2}$-এর উপস্থাপনায় দেখা যায় না। একে দৃশ্যমান করতে, দশাকে রং হিসেবে এনকোড করা যেতে পারে:

• 
  $\rho _{2p1}$
• 
  $\rho _{3p1}$
• 
  $\rho _{3d-1}$
• 
  $\rho _{4f-1}$
• 
  $\rho _{5f-2}$
• 
  $\rho _{6h-1}$
• 
  $\rho _{6h5}$

রসায়নে বিপরীত $m$-এর বাস্তব উপরিপাতন যেমন $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{im\phi }+e^{i(-m)\phi }\right)={\sqrt {2}}\cos(m\phi )$ বিবেচনা করাটা প্রচলিত, যা নিচের ছবিগুলোতে দেখানো হয়েছে এবং এগুলোও বৈধ সমাধান।

• 
  $\rho _{4f\pm 1}$ বা $\rho _{4fxz^{2}}$
• 
  $\rho _{4f\pm 3}$ বা $\rho _{4fx^{2}y}$
• 
  $\rho _{5f\pm 1}$ বা $\rho _{5fxz^{2}}$
• 
  $\rho _{5f\pm 2}$
• 
  $\rho _{5f\pm 3}$ বা $\rho _{5fx^{2}y}$
• 
  $\rho _{5g\pm 1}$
• 
  $\rho _{5g\pm 2}$
• 
  $\rho _{5g\pm 3}$

নিস্পন্দ বিন্দুর মোট সংখ্যা আবারো $n-1,$ অ-গোলাকার নিস্পন্দ বিন্দুর মোট সংখ্যা আবারো $l,$ কিন্তু এখন $z$ অক্ষ ধারণকারী $m$-সংখ্যক সমতল নিস্পন্দ বিন্দু এবং $l-m$-সংখ্যক মোচাকৃতি নিস্পন্দ বিন্দু রয়েছে।

$z$ অক্ষের বিশেষত্ব কী? একেবারেই কিছু নয়, কারণ ভিন্ন একটি অক্ষের সাপেক্ষে সংজ্ঞায়িত তরঙ্গ ফাংশনগুলো $\psi '_{nlm},$ আবদ্ধ-অবস্থার সমাধানগুলোর আরেকটি সম্পূর্ণ সেট তৈরি করে। এর মানে হলো প্রতিটি তরঙ্গ ফাংশন $\psi '_{nlm}$-কে $\psi _{nlm},$ ফাংশনগুলোর একটি রৈখিক সমাহার হিসেবে লেখা যেতে পারে, এবং একইভাবে বিপরীতটিও সত্য।