ইন্দ্রিয়তন্ত্র/কম্পিউটার মডেল/ভারসাম্যতন্ত্র সিমুলেশন

ভেস্টিবুলার সিস্টেমের কম্পিউটার সিমুলেশন

সেমিসারকুলার ক্যানাল

কাপুলা ব্যতীত মডেল

সরলীকৃত সেমিসারকুলার ক্যানাল, কাপুলা ছাড়াই।

চলুন আমরা সেমিসারকুলার ক্যানালের (SCC) যান্ত্রিক বিবরণ নিয়ে আলোচনা করি। আমরা নিচের বর্ণনায় খুব শক্ত এবং সরলীকৃত অনুমান করব। লক্ষ্য হল সেমিসারকুলার ক্যানালের প্রাথমিক যান্ত্রিক নীতিগুলি বোঝা।

প্রথম বড় সরলীকরণ হল, একটি সেমিসারকুলার ক্যানালকে একটি বৃত্তাকার নলের মতো ধরা হয়েছে যার “বাইরের” ব্যাসার্ধ R এবং “ভিতরের” ব্যাসার্ধ r। (যথাযথ হাইড্রো-মেকানিক্যাল বিশ্লেষণের জন্য দেখুন দামিয়ানো এবং র্যাবিট (১৯৯৬) এবং ওব্রিস্ট (২০০৫)। এই নলটি এন্ডোলিম্ফ দ্বারা পূর্ণ।

একটি নির্দিষ্ট স্থানাংক পদ্ধতিতে সেমিসারকুলার ক্যানালের অবস্থান ${\vec {n}}$ ভেক্টর দ্বারা বর্ণনা করা যায়, যা ক্যানালের সমতলের উপর লম্ব। আমরা নিম্নলিখিত প্রতীকগুলো ব্যবহার করব:

$\theta$ নলের ঘূর্ণনের কোণ [রেডিয়ান]

${\dot {\theta }}\equiv {\frac {d\theta }{dt}}$ নলের কৌণিক বেগ [রেড/সেকেন্ড]

${\ddot {\theta }}\equiv {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$ নলের কৌণিক ত্বরণ [রেড/সেক²]

$\phi$ নলের ভিতরের এন্ডোলিম্ফের ঘূর্ণনের কোণ [রেড], এবং এটির টাইম ডেরিভেটিভ সমূহ

$\delta =\theta -\phi$ নল ও এন্ডোলিম্ফের মধ্যে আপেক্ষিক চলাচল [রেড]

উল্লেখ্য, এগুলো সবই স্কেলার ভেরিয়েবল। আমরা ব্যবহার করি যে নলের কৌণিক বেগকে মাথার প্রকৃত কৌণিক বেগ ভেক্টর ${\vec {\omega }}$ কে ক্যানালের সমতলের উপর প্রক্ষেপ করেই প্রকাশ করা যায়:

${\dot {\theta }}={\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}$

এন্ডোলিম্ফের চলাচল নির্ধারণ করতে, একটি মুক্ত ভাসমান পিস্টনের কথা চিন্তা করুন যার ঘনত্ব এন্ডোলিম্ফের সমান। এতে দুইটি বল কাজ করছে:

1. জড়তা জনিত মুহূর্ত $I{\ddot {\phi }}$, যেখানে I হল এন্ডোলিম্ফের জড়তা।
2. সান্দ্রতা জনিত মুহূর্ত $B{\dot {\delta }}$, যা নলের প্রাচীরে ঘর্ষণ থেকে উদ্ভূত।

এই দুটি বল থেকে গতি সমীকরণ দাঁড়ায়:

$I{\ddot {\phi }}=B{\dot {\delta }}$

$\phi =\theta -\delta$ বসিয়ে ও সমীকরণটি একত্র করে পাই:

${\dot {\theta }}={\dot {\delta }}+{\frac {B}{I}}\delta .$

এবার ধরা যাক একটি ধাপে কৌণিক বেগ ${\dot {\theta }}(t)$ এর মান ধ্রুব $\omega$। এতে সরণ হবে:

$\delta ={\frac {I}{B}}\omega \cdot (1-e^{-{\frac {B}{I}}t})$

এবং যদি $t\gg {\frac {I}{B}}$ হয়, তাহলে:

$\delta \approx {\frac {I}{B}}\omega$

এখন, সময় ধ্রুবক $T_{1}\equiv {\frac {I}{B}}$ নির্ণয় করি। পাতলা নলের ক্ষেত্রে $r\ll R$ হলে জড়তা প্রায় দাঁড়ায়:

$I=ml^{2}\approx 2\rho \pi ^{2}r^{2}R^{3}.$

পয়সুইল-হ্যাগেন সমীকরণ অনুসারে, পাতলা নলে ল্যামিনার প্রবাহের বল F:

$F={\frac {8{\bar {V}}\eta l}{r^{2}}}$

যেখানে ${\bar {V}}=r^{2}\pi v$ প্রতি সেকেন্ডে প্রবাহিত আয়তন, $\eta$ হল সান্দ্রতা এবং $l=2\pi R$ হল নলের দৈর্ঘ্য।

যখন $M=F\cdot R$ এবং আপেক্ষিক কৌণিক বেগ $\Omega ={\frac {v}{R}}$ বসাই, তখন পাই:

$B={\frac {M}{\Omega }}=16\eta \pi ^{2}R^{3}$

শেষে সময় ধ্রুবক $T_{1}$:

$T_{1}={\frac {I}{B}}={\frac {\delta r^{2}}{8\eta }}$

মানব ভারসাম্য ব্যবস্থায় পরীক্ষামূলক মান বসিয়ে $T_{1}$ হয় প্রায় 0.01 সেকেন্ড। এটি এত ছোট যে পূর্বের সমীকরণে $\approx$ এর পরিবর্তে "=" বসানো যায়। তখন সিস্টেমের গেইন দাঁড়ায়:

$G\equiv {\frac {\delta }{\omega }}={\frac {I}{B}}=T_{1}$

কাপুলা সহ মডেল

কাপুলার প্রভাব।

এখন পর্যন্ত আলোচনায় SCC-তে কাপুলার ভূমিকা বাদ ছিল: কাপুলা একটি স্থিতিস্থাপক পর্দা হিসেবে কাজ করে যা কৌণিক ত্বরণে সরে যায়। এটি সিস্টেমকে তার বিশ্রাম অবস্থানে ফিরিয়ে আনে। এর স্থিতিস্থাপকতা গতি সমীকরণে একটি অতিরিক্ত টার্ম যোগ করে:

${\ddot {\theta }}={\ddot {\delta }}+{\frac {B}{I}}{\dot {\delta }}+{\frac {K}{I}}\delta$

এ ধরনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধানের একটি কার্যকর পদ্ধতি হল লাপ্লাস ট্রান্সফরমেশন। এতে:

${\frac {dx(t)}{dt}}{\xrightarrow {LaplaceTransform}}s\cdot X(s)-x(0)$

যেখানে x(0) প্রাথমিক অবস্থা, যা প্রায়শই শূন্য ধরা যায়। তখন,

$s^{2}{\tilde {\theta }}=s^{2}{\tilde {\delta }}+{\frac {B}{I}}s{\tilde {\delta }}+{\frac {K}{I}}{\tilde {\delta }}$

যেখানে "~" লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম নির্দেশ করে। $T_{1}$ পূর্বোক্ত ও $T_{2}={\frac {B}{K}}$ বসিয়ে পাই:

${\frac {\tilde {\delta }}{\tilde {\theta }}}={\frac {T_{1}s^{2}}{T_{1}s^{2}+s+{\frac {1}{T_{2}}}}}$

মানুষের ক্ষেত্রে, $T_{2}=B/K\approx 5$ সেকেন্ড।

ট্রান্সফার ফাংশনের পোল নির্ণয়ের জন্য ডিনোমিনেটর শূন্য করে:

$s_{1,2}={\frac {1}{T_{1}}}{\Big (}-1\pm {\sqrt {1-4{\frac {T_{1}}{T_{2}}}}}{\Big )}$

যেহেতু $T_{2}\gg T_{1}$, এবং

${\sqrt {1-x}}\approx 1-{\frac {x}{2}}(x\ll 1)$

তাই,

$s_{1}\approx -{\frac {1}{T_{1}}},\quad s_{2}\approx -{\frac {1}{T_{2}}}$

আমরা সচরাচর কাপুলা সরণ $\delta$ কে মাথার ঘূর্ণনের বেগ ${\dot {\theta }}\equiv s{\tilde {\theta }}$ এর ফাংশন হিসেবে দেখি:

${\frac {\tilde {\delta }}{s{\tilde {\theta }}}}(s)={\frac {T_{1}T_{2}s}{(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}}$

সাধারণ মাথার গতিবিধির জন্য (0.2 Hz < f < 20 Hz), সিস্টেম গেইন প্রায় ধ্রুব। অর্থাৎ কাপুলা সরণ কৌণিক বেগের সমানুপাতিক।

কাপুলা সরণের বডে প্লট – মাথার বেগের ফাংশন হিসেবে; T1 = 0.01 সেকেন্ড, T2 = 5 সেকেন্ড, এবং প্রায় 0 গেইনের জন্য (T1+T2)/(T1*T2) দ্বারা স্কেলিং।

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

রৈখিক, সময়-অপরিবর্তনশীল (LTI) সিস্টেমে ইনপুট ও আউটপুটের সম্পর্ক ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে:

$Out(s)=G(s)*In(s)$

যেখানে ট্রান্সফার ফাংশন $G(s)$ হল:

$G(s)={\frac {num(s)}{den(s)}}={\frac {n(0)*{{s}^{0}}+n(1)*{{s}^{1}}+n(2)*{{s}^{2}}+...}{d(0)*{{s}^{0}}+d(1)*{{s}^{1}}+d(2)*{{s}^{2}}+...}}$

অর্থাৎ নিউমেরেটর ও ডিনোমিনেটরের সহগগুলোই সিস্টেমকে নির্ধারণ করে। এই রূপটি ব্যবহার করে বিভিন্ন সফটওয়্যারে সিমুলেশন করা যায়।

উদাহরণস্বরূপ, ৭ সেকেন্ড টাইম কনস্ট্যান্টের একটি লো-পাস ফিল্টারের ট্রান্সফার ফাংশন:

$G(s)={\frac {1}{7s+1}}$

এটি নিম্নরূপে সিমুলেট করা যায়:

সিমুলিংক দিয়ে

Simulink ব্যবহার করে লো-পাস ফিল্টারের স্টেপ-রেসপন্স সিমুলেশন।

কমান্ডলাইন

কমান্ডলাইনে ম্যাটল্যাব -এর কন্ট্রোল সিস্টেম টুলবক্স বা পাইথনের SciPy-এর সংকেত মডিউল ব্যবহার করা যায়:

ম্যাটল্যাব কন্ট্রোল সিস্টেম টুলবক্স:

% ট্রান্সফার ফাংশন সংজ্ঞা
num = [1];
tau = 7;
den = [tau, 1];
mySystem = tf(num,den)
 
% ইনপুট স্টেপ তৈরি
t = 0:0.1:30;
inSignal = zeros(size(t));
inSignal(t>=1) = 1;
 
% সিমুলেশন ও ফলাফল প্রদর্শন
[outSignal, tSim] = lsim(mySystem, inSignal, t);
plot(t, inSignal, tSim, outSignal);

পাইথন - SciPy:

প্রয়োজনীয় প্যাকেজ ইম্পোর্ট করি

mp হিসাবে ss আমদানি matplotlib.pylab হিসাবে np আমদানি scipy.signal হিসাবে numpy আমদানি করুন

ট্রান্সফার ফাংশন সংজ্ঞায়িত করি

num = [1]         # ল্যাপ্লাস রূপে লঘুগামী পলিনোমিয়াল (উপরের অংশ) tau = 7           # টাইম কনস্ট্যান্ট den = [tau, 1]    # ল্যাপ্লাস রূপে ডিনোমিনেটর (নিচের অংশ): tau*s + 1 mySystem = ss.lti(num, den)   # সিস্টেম অবজেক্ট তৈরি

ইনপুট সিগন্যাল তৈরি করি (স্টেপ ইনপুট, t >= 1 এ 1 হয়ে যায়)

t = np.arange(0,30,0.1) inSignal = np.zeros(t.size) inSignal[t>=1] = 1

সিমুলেশন এবং আউটপুট সিগন্যাল প্লট করি

tout, outSignal, xout = ss.lsim(mySystem, inSignal, t) mp.plot(t, inSignal, tout, outSignal) mp.show()

এই কোডে আমরা যেটা দেখতে পাচ্ছি তা হলো — একটি ফার্স্ট-অর্ডার সিস্টেম, যার টাইম কনস্ট্যান্ট ৭ সেকেন্ড, কীভাবে একটি স্টেপ ইনপুটের প্রতিক্রিয়ায় রেসপন্ড করে। আউটপুট ধীরে ধীরে ইনপুটের দিকে পৌঁছায়, ঠিক যেমনটি আমরা একটি লো-পাস ফিল্টার বা ক্যানাল-রেসপন্স মডেলিং-এ দেখি।

অটোলিথ

এবার অটোলিথ অঙ্গগুলোর বলবিদ্যার দিকে নজর দেওয়া যাক। যেহেতু এগুলো জটিল, সান্দ্র-স্থিতিস্থাপক পদার্থ দিয়ে তৈরি এবং তাদের বাঁকানো আকৃতি রয়েছে, তাই এগুলোর বলবিদ্যা বিশ্লেষণমূলক পদ্ধতিতে বর্ণনা করা যায় না। তবে, এদের গতি সীমিত উপাদান কৌশল ব্যবহার করে সংখ্যাগতভাবে অনুকরণ করা যায়। এই পদ্ধতিতে বিবেচ্য আয়তনকে বহু ছোট ছোট আয়তনে ভাগ করে প্রতিটি উপাদানের জন্য পদার্থবিজ্ঞানের সমীকরণগুলোকে বিশ্লেষণযোগ্য ফাংশনের মাধ্যমে প্রায়োগিকভাবে প্রকাশ করা হয়।

FE-অনুকরণ: ছোট ছোট সসীম উপাদান ব্যবহার করে একটি বলবিদ্যাগত মডেল তৈরি করা হয়েছে; এখানে উদাহরণস্বরূপ স্যাকুল।

এখানে আমরা শুধুমাত্র সান্দ্র-স্থিতিস্থাপক অটোলিথ পদার্থগুলোর জন্য প্রযোজ্য পদার্থবিজ্ঞানের সমীকরণ উপস্থাপন করব। প্রতিটি স্থিতিস্থাপক পদার্থের গতি কশির গতি-সমীকরণ মেনে চলে:

$\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\rho B_{i}+\sum _{j}{\frac {\partial T_{ij}}{\partial x_{j}}}$

যেখানে $\rho$ পদার্থের কার্যকর ঘনত্ব, $u_{i}$ i-অক্ষ বরাবর স্থানচ্যুতি, $B_{i}$ হল ভলিউম বলের i-উপাদান, এবং $T_{ij}$ হল কশির বিকৃতি টেনসর -এর উপাদান। $x_{j}$ হল স্থানাঙ্ক।

রৈখিক স্থিতিস্থাপক, সমদিশ পদার্থের জন্য, কশির বিকৃতি টেনসর প্রকাশ করা যায় এইভাবে:

$T_{ij}=\lambda e\delta _{ij}+2\mu E_{ij}$

যেখানে $\lambda$ ও $\mu$ হল লামি ধ্রুবক; $\mu$ সরণ গুণাঙ্ক। $e=div({\vec {u}})$, এবং $E_{ij}$ হল চাপ টেনসর:

$E_{ij}={\frac {1}{2}}{\Big (}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}{\Big )}.$

এটি আমাদের নিয়ে যায় নাভিয়ের গতি-সমীকরণে:

$\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}=\rho B_{i}+(\lambda +\mu ){\frac {\partial e}{\partial x_{i}}}+\mu \sum _{j}{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}$

এই সমীকরণটি কেবলমাত্র বিশুদ্ধভাবে স্থিতিস্থাপক, সমদিশ পদার্থের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য এবং সসীম উপাদান কৌশল ব্যবহার করে সমাধান করা যায়। এই সমীকরণে যেসব বলবিদ্যাগত পরামিতি ব্যবহৃত হয়েছে, সেগুলো নির্ধারণ করার একটি সাধারণ পদ্ধতি হল: যদি একটি নলাকার নমুনাকে টান দিয়ে প্রসারিত করা হয়, তাহলে ইয়াং এর সহগ E দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন নির্দেশ করে, এবং পয়সন অনুপাত $\nu$ ব্যাসের হ্রাস নির্দেশ করে। লামি ধ্রুবক $\lambda$ ও $\mu$ E ও $\nu$ এর সঙ্গে সম্পর্কিত:

$E={\frac {\mu (3\lambda +2\mu )}{\lambda +\mu }}$

এবং

$\nu ={\frac {\lambda }{2(\lambda +\mu )}}$

কেন্দ্রীয় ভেস্টিবুলার প্রক্রিয়াকরণ

ভেস্টিবুলার তথ্যের কেন্দ্রীয় প্রক্রিয়াকরণ স্থানিক অবস্থান ও গতি অনুধাবনে গুরুত্বপূর্ণ প্রভাব ফেলে। ব্রেইনস্টেমে এই তথ্য প্রক্রিয়াকরণ প্রায়ই নিয়ন্ত্রণ-তন্ত্র সরঞ্জামের মাধ্যমে দক্ষতার সাথে মডেল করা যায়। একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ হিসেবে, আমরা দেখাব কীভাবে ভেলোসিটি স্টোরেজ এর প্রভাব মডেল করা যায়।

ভেলোসিটি স্টোরেজ

ভেলোসিটি স্টোরেজ ধারণাটি নিম্নলিখিত পরীক্ষালব্ধ ফলাফলের উপর ভিত্তি করে: যখন আমরা পৃথিবী-উল্লম্ব অক্ষ বরাবর দীর্ঘস্থায়ী ঘূর্ণনের পর হঠাৎ থেমে যাই, তখন কাপুলা হ্রাসপ্রাপ্ত ঘূর্ণনের কারণে বেঁকে যায়, কিন্তু প্রায় ৫ সেকেন্ড সময় ধীরে ধীরে স্বাভাবিক অবস্থায় ফিরে আসে। তবে, ঘূর্ণনের অনুভূতি আরও অনেকক্ষণ স্থায়ী হয়, সাধারণত ১৫ থেকে ২০ সেকেন্ড সময় ধরে ধীরে ধীরে হ্রাস পায়।

ভেস্টিবুলার মডেলিং: নীল রেখাটি কাপুলার প্রতিক্রিয়া নির্দেশ করে, যা একটি উচ্চ-পাস ছাঁকনি দ্বারা ৫ সেকেন্ড সময় ধ্রুবকে মডেল করা হয়েছে। সবুজ রেখাটি ঘূর্ণনের একটি অভ্যন্তরীণ অনুমান নির্দেশ করে, যা একটি নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া লুপে কাপুলা প্রতিক্রিয়ার অভ্যন্তরীণ মডেলের উপর ভিত্তি করে গেইন ফ্যাক্টর ২ সহ পাওয়া যায়।

সংযুক্ত চিত্রে, অর্ধবৃত্তাকার ক্যানালের ঘূর্ণন উদ্দীপনায় (ω) প্রতিক্রিয়া ট্রান্সফার ফাংশন C দ্বারা মডেল করা হয়েছে, যা এখানে একটি ৫ সেকেন্ড সময় ধ্রুবকবিশিষ্ট একটি সাধারণ উচ্চ-পাস ছাঁকনি। (ক্যানালের প্রতিক্রিয়া কাপুলার বাঁক এবং প্রায় আনুপাতিক নিউরাল ফায়ারিং রেট দ্বারা নির্ধারিত হয়)। এই সময় ধ্রুবকের বৃদ্ধি মডেল করতে, আমরা ধরে নিই যে কেন্দ্রীয় ভেস্টিবুলার সিস্টেমের একটি অভ্যন্তরীণ মডেল আছে ক্যানালের ট্রান্সফার ফাংশনের, ${\hat {C}}$। এই অভ্যন্তরীণ মডেলের ভিত্তিতে, ঘূর্ণনের অভ্যন্তরীণ অনুমানের প্রত্যাশিত ফায়ারিং রেট, ${\hat {\omega }}$, প্রকৃত ফায়ারিং রেটের সঙ্গে তুলনা করা হয়। গেইন ফ্যাক্টর k = ২ নিলে, মডেলটির আউটপুট যথাযথভাবে সময় ধ্রুবকের এই বৃদ্ধিকে প্রতিফলিত করে। সংশ্লিষ্ট পাইথন কোডটি পাওয়া যাবে এখানে:

উল্লেখযোগ্য যে, এই প্রতিক্রিয়া লুপের জন্য শারীরবৃত্তীয় ব্যাখ্যাও রয়েছে: আমরা জানি যে বাম ও ডান ভেস্টিবুলার নিউক্লিয়াসগুলোর মধ্যে শক্তিশালী সংযোগ রয়েছে। যদি এই সংযোগগুলি বিচ্ছিন্ন করা হয়, তাহলে ঘূর্ণনের অনুভূতির সময় ধ্রুবক হ্রাস পেয়ে অর্ধবৃত্তাকার ক্যানালের পারিপার্শ্বিক সময় ধ্রুবকের সমান হয়ে যায়।

কেন্দ্রীয় ভেস্টিবুলার প্রক্রিয়াকরণ প্রায়ই নিয়ন্ত্রণ-তন্ত্র মডেল দ্বারা বর্ণনা করা যায়। এখানে "ওমেগা" হল মাথার ঘূর্ণনের হার, "C" হল অর্ধবৃত্তাকার ক্যানালের ট্রান্সফার ফাংশন, এবং "k" একটি সাধারণ গেইন ফ্যাক্টর। "হ্যাট"-যুক্ত ভেরিয়েবলগুলো অভ্যন্তরীণ অনুমান নির্দেশ করে।

গাণিতিকভাবে, উচ্চ গেইনযুক্ত নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া একটি আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য প্রদর্শন করে। এটি নেতিবাচক প্রতিক্রিয়া লুপে প্রায় ট্রান্সফার ফাংশনকে উল্টে দিতে পারে: যদি k>>1 এবং যদি ক্যানালের ট্রান্সফার ফাংশনের অভ্যন্তরীণ মডেলটি প্রকৃত ফাংশনের কাছাকাছি হয়, তাহলে ঘূর্ণনের অনুমানকৃত মান প্রকৃত মানের সমান হয়।

${\begin{aligned}&{\hat {\omega }}=(\omega C-{\hat {\omega }}{\hat {C}})k\\&{\hat {\omega }}(1+{\hat {C}}k)=\omega Ck\\&{\frac {\hat {\omega }}{\omega }}={\frac {C}{1/k+{\hat {C}}}}\,\,{\xrightarrow[{if\,C\approx {\hat {C}}}]{k>>1}}1\end{aligned}}$