সম্ভাবনা/সম্ভাবনার সমস্যা

সম্ভাবনা

(ইংরেজি: Probability) বা সম্ভাবনা তত্ত্ব হচ্ছে গণিতের একটি শাখা যেখানে গণনামূলকভাবে কোন ঘটনা বা দৈব পরীক্ষা-এর একটি নির্দিষ্ট ফলাফলে উপনীত হবার সম্ভাবনা বের করা হয়।
বিন্যাস ও সমাবেশ-এর গবেষণা সম্ভাবনা নির্ণয়ে কাজে আসে।সম্ভাবনা পরিসংখ্যানের অন্যতম ভিত্তি।কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা পরিমাপ করাই সম্ভাব্যতা।
সম্ভাব্যতার সাথে ঘটনার যোগসূত্র প্রচুর। ঘটনা' হলো আমাদের চারপাশে দৃশ্যমান এমন কোনো পরিস্থিতি যার ফলাফল বিদ্যমান। আর 'সম্ভাব্যতা' হলো এমন একটি গাণিতিক হিসাব যা আমাদের ঘটনা সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিতে সহায়তা করে।
সম্ভাব্যতা সম্পর্কে বিস্তারিত জানার জন্য কয়েকটি বিষয় সম্পর্কে স্বচ্ছ ধারণা থাকা দরকার: সেট, বিন্যাস, সমাবেশ।

সংজ্ঞা

একটি ঘটনা A-এর সম্ভাবনার সংজ্ঞা এভাবে দেয়া যেতে পারে:
ধরা যাক A-এর সম্ভাবনাকে ০ থেকে ১ এর মধ্যে একটি প্রকৃত রাশি দ্বারা প্রকাশ করা যায়, যাকে আমরা লিখি P(A), p(A) বা Pr(A)। 

কোনো ঘটনার সম্ভাবনা ০ হলে তাকে বলি অসম্ভব ঘটনা, এবং কোনো ঘটনার সম্ভাবনা ১ হলে তাকে বলি অবশ্যম্ভাবী ঘটনা। তবে মনে রাখা উচিত, শাব্দিক অর্থের সাথে পারিসাংখ্যিক সংজ্ঞার অর্থের পার্থক্য আছে - অসম্ভব ঘটনা ঘটা যেমন অসম্ভব না, তেমনি অবশ্যম্ভাবী ঘটনা নিঃসন্দেহে ঘটবেই - এমনটি নাও হতে পারে।

এই সংজ্ঞা শুধু বলছে ঘটনাগুলির সম্ভাবনার কথা।
এই ধারণাটি 'প্রায় দৃঢ়ভাবে' বলা বক্তব্যের কাছাকাছি।

উদাহরণ

দুটি নিটাল মুদ্রা বার বার নিক্ষেপ করা হলে মুদ্রার মাথা (H) বা উল্টা পিঠ (T) আসতে পারে। এই দৈব পরীক্ষা-এর নমুনাক্ষেত্র হবে S = {HH ,HT,TH ,TT}। ধরা যাক, একটি ঘটনা A = কমপক্ষে একটি মাথা (H) ফলাফল হিসেবে আসা। সেক্ষেত্রে A-এর স্বপক্ষে নমুনাবিন্দুগুলি হবে A = {HH ,HT,TH}।

অতএব, A-এর সম্ভাবনা গণনার পদ্ধতি এরকম হবে: P(A) = {ঘটনা A -তে বিন্দুর সংখ্যা}/ {এই দৈব পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র S-এ বিন্দুর সংখ্যা} = ৩/৪ = ০.৭৫।

ইতিহাস

১৭শ শতকের গণিতবিদ পিয়ের দ্য ফের্মা ও ব্লেজ পাসকালকে সম্ভাবনা তত্ত্বের ভিত্তি স্থাপনকারী গণিতবিদ হিসেবে গণ্য করা হয়, তবে এর পূর্বে জিরোলামো কারদানো এর উপর গুরুত্বপূর্ণ অবদান রাখেন।

সমস্যা ১: (টাকার পকেট)

আমার পকেটে কিছু পাঁচ টাকার মুদ্রা আর কিছু এক টাকার মুদ্রা আছে। অজানাভাবে দুটি মুদ্রা তুললে দুটিই এক টাকার মুদ্রা হবার সম্ভাবনা ${\frac {1}{2}}$। আমার পকেটে তবে সর্বনিম্ন কয়টি মুদ্রা আছে?

সমাধান ১: (টাকার পকেট)

ধরলাম, আমার পকেটে aটি পাঁচ টাকার মুদ্রা আর bটি এক টাকার মুদ্রা আছে। তবে প্রথম মুদ্রাটি এক টাকার হবার সম্ভাবনা ${\frac {b}{a+b}}$। প্রথমটি এক টাকার মুদ্রা হয়ে থাকলে তা একটি এক টাকার মুদ্রা পকেট থেকে সরে গেছে। তাই, দ্বিতীয় মুদ্রাটি এক টাকার হবার সম্ভাবনা এখন ${\frac {b-1}{a+b-1}}$।

ফলে, অজানাভাবে তোলা দুইটি মুদ্রাই এক টাকার হবার সম্ভাবনা = প্রথমটি এক টাকার হবার সম্ভাবনা X প্রথম তোলা মুদ্রাটি এক টাকার মুদ্রা, এই শর্তে দ্বিতীয়টি এক টাকার হবার সম্ভাবনা =

${\frac {b}{a+b}}*{\frac {b-1}{a+b-1}}={\frac {1}{2}}$ (প্রশ্নানুসারে)।

খুব সহজ একটা উপায় আমরা এখন সমস্যাটি সমাধান করতে পারি। আমরা a=1 নিয়ে b এর ভিন্ন ভিন্ন মান নিতে পারি, এর পর a=2 নিয়ে b এর ভিন্ন ভিন্ন মান নিয়ে দেখতে পারি, সর্বনিম্ন কোন (a+b) এর জন্য উপরের সম্ভাবনাটি ১/২ হয়।

a=1, b=1

${\frac {b}{a+b}}*{\frac {b-1}{a+b-1}}={\frac {1}{2}}*{\frac {0}{1}}=0\not ={\frac {1}{2}}$

এই প্রচেষ্টা আমরা না করলেও পারতাম, কেননা এক টাকার মুদ্রা মাত্র একটিই হলে (b=1), দুইটি মুদ্রা এক টাকার হবার সম্ভাবনা সাধারণভাবেই শূন্য।

a=1, b=2

${\frac {b}{a+b}}*{\frac {b-1}{a+b-1}}={\frac {2}{3}}*{\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}\not ={\frac {1}{2}}$

a=1, b=3

${\frac {b}{a+b}}*{\frac {b-1}{a+b-1}}={\frac {3}{4}}*{\frac {2}{3}}={\frac {1}{2}}$

অতএব, আমার পকেটে ৪টির কম মুদ্রা থাকতে পারে না।

সমস্যা ২ঃ (বক্স ও বল)

মনে করি আমার কাছে 2 টি বক্স আছে।

প্রথম বক্স এ m সংখ্যক লাল ও n সংখ্যক সাদা বল আছে।

অপর বক্স এ a সংখ্যক কালো ও b সংখ্যক সবুজ বল আছে।

উভয় বক্স থেকে পুনস্থাপন করার মাধ্যমে k সংখ্যক বল তোলা হল , যেখানে k>3।

প্রথম বক্স এর থেকে প্রাপ্ত বলগুলো একই বর্ণ যুক্ত হয়ার সম্ভাবনা অপর বক্স থেকে সবগুলা কালো বল পাওার সম্ভাবনার সমান।

তাহলে k এর সর্বনিম্ন বাস্তব মান কত?

যখন a+b=m+n

k বার বল তোলা হলে ও পুনস্থাপন করা হলে প্রথম বক্স থেকে একই বর্ণ যুক্ত বল পাওার সম্ভাবনা হবে

$\left({\frac {m}{m+n}}\right)^{k}+\left({\frac {n}{m+n}}\right)^{k}$

আবার অপর পাত্র থেকে k বার কালো বল তোলার সম্ভাবনা হবে

$\left({\frac {a}{a+b}}\right)^{k}$

যেহেতু এরা সমান

ফলে

$\left({\frac {m}{m+n}}\right)^{k}+\left({\frac {n}{m+n}}\right)^{k}=\left({\frac {a}{a+b}}\right)^{k}$

$m^{k}+n^{k}=a^{k}$

এটি ফার্মার এর সমিকরন, k>2 হলে স্বাভাবিক সংখ্যা তে এর কোন সমাধান নেই

কিন্তু শর্ত অনুযায়ী k>3

ফলে k এর কোন বাস্তব মান নেই।

সমস্যা ৩ঃ(বিমানের আসন)

একশ লোক একটি বিমানে ওঠার জন্য বোর্ডিং লাইন এ দাঁড়ান।

প্রতিটি নির্ধারিত আসন এর জন্য একটি বোর্ডিং পাস আছে।

বোর্ডে প্রথম ব্যক্তি তার বোর্ডিং পাস হারিরান ফেলেছে

ফলে সে একটি এলোমেলো(random) আসন বেছে নেয়।

এর পর, প্রতিটি ব্যক্তি তার নির্ধারিত সীট এ আসন গ্রহণ করে

এবং অন্য কোন বাক্তির আসন আগে থেকেই পূর্ণ থাকলে সেও একটি এলোমেলো(random) আসন বেছে নেয়।

সভায় শেষ ব্যক্তি তার নির্দিষ্ট সীটে বসতে পারার সম্ভাবনা কি?

সমাধান ৩ঃ(বিমানের আসন)

শেষ যাত্রী বসার জন্য 1 টি আসন এ বাকি থাকবে

ওই আসন তার অথবা তার নয়

অর্থাৎ সে ঠিক আসন এ বসবে কিনা তার জন্য ঘটনা 2 টি যার একটি তে সে সঠিক আসন এ বসবে

ফলে সম্ভাবনা 1/2